被教科书忽略的几种特殊Brillouin Zone

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在目前流行的众多固体物理教科书中,关于Wigner-Seitz晶胞讲得很笼统,有很多具体例子并没有涉及到,甚至会使读者产生误解。有一本书写得很好,有兴趣的可以参考:

C. J. Bradley and A. P. Cracknell, The mathematical theory of symmetry in solids: representation theory for point groups and space groups, Oxford, Clarendon Press, 1972.

以下是两个比较典型的问题。

1. Brillouin Zone未必选用Wigner-Seitz晶胞

对于三斜晶系和单斜晶系,它们的Wigner-Seitz晶胞形状比较复杂,例如对一般的三斜晶系,Wigner-Seitz晶胞是不规则十四面体 (见图1.a)。因此Bradley和Cracknell建议,这类晶系的Brillouin Zone不用Wigner-Seitz晶胞,而是用初基晶胞(需要把坐标原点放在体心位置,见图1.b)。

详细说明,参见书的92页。Brillouin Zone图和特殊点见96-97页的图3.2,3.3,和3.4。也可以参考这篇文章:
C. J. Bradley and A. P. Cracknell, Some comments on the theory of space-group representations: I, J. Phys. C: Solid State Phys., 3(3), 610-618, 1970.

推广到二维(平面群和层群)情况:可以把3D体系投影到2D平面上,三斜晶系和部分单斜晶系对应于2D的斜方晶系。它们的初基晶胞为平行四边 形,Wigner-Seitz晶胞是一个不规则六边形(见图2。图中虚线部分是Wigner-Seitz晶胞,实线部分是四个初基晶胞)。即然二者面积相 同,且具有相同的对称操作,那么显然用初基晶胞作为Brillouin Zone更方便(需要把初基晶胞的中心移到原点)。

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2. 菱形晶系

菱形晶系的初基晶胞是菱形六面体(见图3),那么它的Wigner-Seitz晶胞是什么样子呢?也是菱形六面体吗?

它的Wigner-Seitz晶胞实际上非常复杂。根据惯用晶胞晶格参数(即,采用六角晶胞时)的不同关系,又分成了a大于sqrt(2)*c和a 小于sqrt(2)*c。在倒空间中,前者是十二面体(见图4.a),后者是十四面体(见图4.b)。实空间的Wigner-Seitz晶胞正好相反。关 于Brillouin Zone的特殊点,见书106-107页的图3.11(a)和(b)。(注)

一点疑问:对于菱形晶系,既然初基晶胞和Wigner-Seitz晶胞的体积和对称操作都相同,而后者又如此复杂,为什么不像上面那样,用初基晶胞作为Brillouin Zone呢?

注:根据菱形晶胞和六角晶胞之间的几何关系,还可以认为:当cos(θ)∈(-1/2,-2/7),即θ∈(106.6°,120°)时,倒空间的Wigner-Seitz晶胞是十二面体;当cos(θ)∈(-2/7,1),即θ∈(0°,106.6°)时,倒空间的Wigner-Seitz晶胞是十四面体;θ在120°以上的菱形晶胞不存在。其中θ是菱形晶胞三格矢间的三个相等夹角。实空间的Wigner-Seitz晶胞正好相反。

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注:以上所有的3D图用MATLAB绘制。