布里渊区的积分

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本文摘自于量化网即将全新推出的《量化砖头》,敬请大家关注。

布里渊区的积分布里渊区的积分

此文全面总结了布里渊区的积分。对于周期体系的第一定律计算,在SCF的过程中(计算Fermi能,构造密度矩阵)和过程后(DOS,诸多可观测量)都涉及布里渊区(BZ)或约化布里渊区(IBZ)内的积分.由于解析积分要比数值积分快很多(解析方法还有其他一些优点,后面将会涉及),因此人们更希望得到解析解。计算这两类积分的方法,目前有两种,分别是特殊点方法(special points method)和四面体方法(tetrahedron method)。

特殊点法的优点是:所用的k点通常比较少,计算量较小。例如在高对称体系中,通常IBZ内几十个点,即可使总能量达到10¡4 Hartree精度。此外,特殊点法包含的高对称点比
较少,由于高对称点所含的能量、密度等分布信息较少,在能带计算中通常避免使用。虽然特殊点法有很多优点,但是由于它要求被积函数足够平滑,因此在处理能带部分占
据的体系(如金属)时,计算局部积分(如散射率,两种材料的界面)时,以及计算面积分I(E)时,存在困难。有时对有些半导体材料也会出现收敛问题[5],甚至用上千个k点也不收敛[6]。

四面体方法最早由Gilat和Raubenheimer [9]最早提出,其核心思想借鉴了略早产生的有限元方法。四面体方法通过把被积分区域(IBZ)划分为小四面体(2维为小三角形,1维为线段),将积分变 为对这些小四面体积分后求和。根据在小四面体中所用被积函数的形式不同,又分为线性四面体LT(f为常数或线性函数,"为线性函数)、二次四面体QT(f 和"都为二次函数)、和线性-二次混合HT(f为线性函数,"为二次函数)四面体方法,这些方法总结在文献[10]中。此外,当µ函数或±函数从被积函数 中消失,还有人提出了三次四面体方法[11]。其实,早期使用的分割单元并不是四面体,而是立方体。相应地,有线性立方体[9]和二次立方体方法 [12]。以上提到的四面体和立方体,以及二维情况下的三角形和正方形,一维情况下的线段,统称为单形(simplex)。对大多数IBZ而言,由于立方 体无法完全填充IBZ导致边界问题,误差较大,因此目前很少采用。Chen还提出过另外一种四面体分割方法[13]。他把IBZ划分为一系列顶点位于¡点 的四面体长楔子,进而把三维积分转化为沿着这些长楔子轴向上的一维解析积分。

四面体方法用于二维和三维体系时,一旦考虑了对称性,或多或少都存在权重问题,无法避免。权重问题对体积分计算的影响并不大,但在面积分中比较严 重,权重问题对面积分的影响随着k点数目不断增多而逐渐减弱。对于一维体系,线性四面体方法蜕化为线段上的Simpson积分(参见文献[28] 的4.1节)。除了线段的端点以外,线段上任意一点都在积分中使用了两次,在均匀分割的情况下,权重是2;对于线段的两个端点,虽然它们都使用了一次,但 是两个端点是等价点,端点的总权重仍为2。因此对一维体系,在均匀分割的情况下,四面体方法不存在权重问题。

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